Let $$ a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$ such that $$ a\ge <!--\; \ge \; -->1$$ and $$ b><!--\; >\; -->1$$ and let $$ T,f:{\mathbb{N}}^0\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{\ge <!--\; \ge \; -->0}$$ be defined such that $\[ T\left(n\right):=aT\left(\frac{n}{b}\right)+f\left(n\right) \]$ Then the following statements are true

• If $$ f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{O}\left(n^{{\log }_b<!--\; \; -->a-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\right)$$ for some $$ \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{><!--\; >\; -->0}$$, then $$ T\left(n\right)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\left(n^{{\log }_b<!--\; \; -->a}\right)$$
• If $$ f\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\left(n^{\log <!--\; \; -->ba}\right)$$ then $$ T\left(n\right)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(n^{\log <!--\; \; -->ba}\ln <!--\; \; -->\left(n\right))$$
• If $$ f\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\left(n^{{\log }_b<!--\; \; -->\left(a\right)+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\right)$$ for some constant $$ \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^{><!--\; >\; -->0}$$ and the function $$ f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(n\right):=af\left(\frac{n}{b}\right)$$ is eventually dominated up to a constant $$ c\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$ by $$ cf$$ where $$ c<<!--\; <\; -->1$$, then $$ T\left(n\right)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\left(f\right)$$